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垂直于直线 $y = x + 1$ 且与圆 ${x^2} + {y^2} = 1$ 相切于第一象限的直线方程是 \((\qquad)\)
A: $x + y - \sqrt 2 = 0$
B: $x + y + 1 = 0$
C: $x + y - 1 = 0$
D: $x + y + \sqrt 2 = 0$
【难度】
【出处】
2013年高考广东卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据两直线垂直的关系，得出所求直线的斜率，然后设出直线方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于半径，及切点在第一象限，求出截距即可．圆的切线与直线 $y=x+1$ 垂直，所以切线的斜率为 $-1$．设切线方程为 $y=-x+b$，圆心的直线的距离为 $d$，则 $d=\dfrac{|b|}{\sqrt 2}=1$，所以 $b=\pm \sqrt 2$，又因为切线与圆相切于第一象限，所以 $b=\sqrt 2$，因此，切线方程为 $x+y-\sqrt 2=0$．
题目 答案 解析 备注
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