已知函数 $ f\left(x\right) = \ln \left( {\sqrt {1 + 9{x^2}} - 3x} \right) + 1 $，则 $ f\left(\lg 2\right) + f\left( {\lg \dfrac{1}
{2}} \right) =$ \((\qquad)\)
{2}} \right) =$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考辽宁卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由问题形式知，直接代入计算显然非常复杂，结合 $\lg2$ 与 $\lg\dfrac12$ 互为相反数，可以考虑判断函数奇偶性．函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\mathbb R$，而函数 $g\left(x\right)=\ln \left( {\sqrt {1 + 9{x^2}} - 3x} \right)$ 是奇函数，所以对于任意的 $x$，都有\[f\left(-x\right)+f\left(x\right)=2.\]又因为 $\lg \dfrac 12=-\lg 2$，所以\[ f\left(\lg 2\right) + f\left( {\lg \dfrac{1}
{2}} \right) =f\left(\lg 2\right)+f\left(-\lg 2\right)=2.\]
{2}} \right) =f\left(\lg 2\right)+f\left(-\lg 2\right)=2.\]
题目
答案
解析
备注
