已知函数 $f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {a + 2} \right)x + {a^2}$，$g\left( x \right) = - {x^2} + 2\left( {a - 2} \right)x - {a^2} + 8$，设 ${H_1}\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( x \right),g\left( x \right)} \right\}$，${H_2}\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( x \right),g\left( x \right)} \right\}$（$ \max \left\{ {p,q} \right\}$ 表示 $p$，$q$ 中的较大值，$\min \left\{ {p,q} \right\}$ 表示 $p$，$q$ 中的较小值）．记 ${H_1}\left( x \right)$ 的最小值为 $A$，${H_2}\left( x \right)$ 的最大值为 $B$，则 $A - B = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
写出函数 $H_1(x)$ 和 $H_2(x)$ 的解析式，分别求其最小值与最大值即可．由 $f\left(x\right)=g\left(x\right) $，得 $\left(x-a\right)^2=4 $．所以，当 $ x=a-2 $ 和 $ x=a+2 $ 时，两函数值相等，又 $ f\left(x\right) $ 的图象为开口向上的抛物线，$ g\left(x\right) $ 的图象为开口向下的抛物线，它们的草图如下图所示：
则\[H_1\left(x\right)= \begin{cases}f\left(x\right),&x\leqslant a-2,\\ g\left(x\right),& a-2<x<a+2,\\ f\left(x\right),&x\geqslant a+2,\end{cases} \quad H_2\left(x\right)= \begin{cases}g\left(x\right),&x\leqslant a-2,\\f\left(x\right),& a-2<x<a+2,\\ g\left(x\right),&x\geqslant a+2.\end{cases} \]所以\[A=H_1\left(x\right)_{\min}=f\left(a+2\right)=-4a-4 ,\\
B=H_2\left(x\right)_{\max}=g\left(a-2\right)=-4a+12,\]所以 $ A-B=-16 $．
则\[H_1\left(x\right)= \begin{cases}f\left(x\right),&x\leqslant a-2,\\ g\left(x\right),& a-2<x<a+2,\\ f\left(x\right),&x\geqslant a+2,\end{cases} \quad H_2\left(x\right)= \begin{cases}g\left(x\right),&x\leqslant a-2,\\f\left(x\right),& a-2<x<a+2,\\ g\left(x\right),&x\geqslant a+2.\end{cases} \]所以\[A=H_1\left(x\right)_{\min}=f\left(a+2\right)=-4a-4 ,\\B=H_2\left(x\right)_{\max}=g\left(a-2\right)=-4a+12,\]所以 $ A-B=-16 $．
题目
答案
解析
备注
