判断函数的极值情况，只需判断出函数的单调性，也就是判断出导函数的正负即可．由题意知\[f'\left( x \right) = \dfrac{{{{\mathrm{e}}^x}}}{x^3} - \dfrac{2f\left( x \right)}{x} = \dfrac{{{{\mathrm{e}}^x} - 2{x^2}f\left( x \right)}}{x^3}.\]令 $g\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - 2{x^2}f\left( x \right)$，则\[\begin{split} g'\left( x \right) &= {{\mathrm{e}}^x} - 2{x^2}f'\left( x \right) - 4xf\left( x \right) \\ & = {{\mathrm{e}}^x} - 2\left( {{x^2}f'\left( x \right) + 2xf\left( x \right)} \right) \\ & = {{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{{2{{\mathrm{e}}^x}}}{x} \\ & = {{\mathrm{e}}^x}\left( {1 - \dfrac{2}{x}} \right).\end{split} \]由 $g'\left( x \right) = 0$ 得 $x = 2$，当 $x = 2$ 时，\[g{\left( x \right)_{\min }} = {{\mathrm{e}}^2} - 2 \times {2^2} \times \dfrac{{{{\mathrm{e}}^2}}}{8} = 0.\]即 $g\left( x \right) \geqslant 0$，则当 $x > 0$ 时，\[f'\left( x \right) = \dfrac{g\left( x \right)}{x^3} \geqslant 0,\]故 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上单调递增，既无极大值也无极小值．
其他解法：由 ${x^2}f'\left( x \right) + 2xf\left( x \right) = \dfrac{{{{\mathrm{e}}^x}}}{x}$
得\[ \left[x^2f\left(x\right)\right]'=\dfrac{{\mathrm{e}}^x}x ,\]且\[ x^2f'\left(x\right)=\dfrac{{\mathrm{e}}^x}x-2xf\left(x\right). \]于是\[ x^3f'\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-2x^2f\left(x\right) .\]所以\[ \left[x^3f'\left(x\right)\right]'={\mathrm{e}}^x-2\dfrac{{\mathrm{e}}^x}x=\dfrac{x-2}x{\mathrm{e}}^x. \]于是可得函数 $ x^3f'\left(x\right) $ 在 $ \left(0,2\right) $ 单调递减，$ \left(2,+\infty\right) $ 单调递增，所以 $ x^3f'\left(x\right)\geqslant 8f'\left(2\right) $．由 ${x^2}f'\left( x \right) + 2xf\left( x \right) = \dfrac{{{{\mathrm{e}}^x}}}{x}$ 和 $f\left( 2 \right) = \dfrac{{{{\mathrm{e}}^2}}}{8}$ 可得 $ f'\left(2\right)=0 $，所以 $ x^3f'\left(x\right)\geqslant 0 $ 恒成立，所以 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(0,+\infty\right) $ 恒单调递增，无极值．