设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$，若有且只有一对相交于点 $O$，所成的角为 $60^\circ $ 的直线 ${A_1}{B_1}$ 和 ${A_2}{B_2}$，使 $ \left|{A_1}{B_1} \right| = \left|{A_2}{B_2} \right|$，其中 ${A_1},{B_1}$ 和 ${A_2},{B_2}$ 分别是这对直线与双曲线 $C$ 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考重庆卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系可以借助渐近线进行分析．先考虑焦点在 $x$ 轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于 $x$ 轴（或 $y$ 轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 $30^\circ $ 且小于等于 $60^\circ $，
即 $\tan 30^\circ < \dfrac{b}{a} \leqslant \tan 60^\circ $，所以 $\dfrac{1}{3} < \dfrac{b^2}{a^2} \leqslant 3$．又\[{e^2} = {\left( {\dfrac{c}{a}} \right)^2} = \dfrac{c^2}{a^2} = 1 + \dfrac{b^2}{a^2},\]所以 $\dfrac{4}{3} < {e^2} \leqslant 4$，解得 $\dfrac{2\sqrt 3 }{3} < e \leqslant 2$．
焦点在 $y$ 轴上的双曲线与焦点在 $x$ 轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．
即 $\tan 30^\circ < \dfrac{b}{a} \leqslant \tan 60^\circ $，所以 $\dfrac{1}{3} < \dfrac{b^2}{a^2} \leqslant 3$．又\[{e^2} = {\left( {\dfrac{c}{a}} \right)^2} = \dfrac{c^2}{a^2} = 1 + \dfrac{b^2}{a^2},\]所以 $\dfrac{4}{3} < {e^2} \leqslant 4$，解得 $\dfrac{2\sqrt 3 }{3} < e \leqslant 2$．焦点在 $y$ 轴上的双曲线与焦点在 $x$ 轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．
题目
答案
解析
备注
