下列函数中，既是偶函数又在区间 $\left(0, + \infty \right)$ 上单调递减的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考北京卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题考查初等函数的单调性与奇偶性．掌握基本初等函数的性质是解题的关键．选项C，二次函数 $y=-x^2+1$ 的图象关于 $y$ 轴对称，所以是偶函数，由图象可知，函数在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递减，故C正确．
选项A，反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象不关于 $y$ 轴对称，故不是偶函数．故A错误．
选项B，记 $f\left(x\right)={\mathrm e}^{-x}$，$f\left(-1\right)={\mathrm e}$，$f\left(1\right)=\dfrac{1}{\mathrm e}$，所以 $f\left(-1\right)\ne f\left(1\right)$，故函数 $f\left(x\right)$ 不是偶函数．故B错误．
选项D，记 $f\left(x\right)=\lg|x|$，则有 $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$，故函数为偶函数，令 $x_1=5$，$x_2=10$，$5<10$，$\lg |5|<\lg|10|$，所以函数 $y=\lg |x|$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上不单调递减．故D错误．
选项A，反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象不关于 $y$ 轴对称，故不是偶函数．故A错误．
选项B，记 $f\left(x\right)={\mathrm e}^{-x}$，$f\left(-1\right)={\mathrm e}$，$f\left(1\right)=\dfrac{1}{\mathrm e}$，所以 $f\left(-1\right)\ne f\left(1\right)$，故函数 $f\left(x\right)$ 不是偶函数．故B错误．
选项D，记 $f\left(x\right)=\lg|x|$，则有 $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$，故函数为偶函数，令 $x_1=5$，$x_2=10$，$5<10$，$\lg |5|<\lg|10|$，所以函数 $y=\lg |x|$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上不单调递减．故D错误．
题目
答案
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