如图，在正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$P$ 为对角线 $B{D_1}$ 的三等分点，$P$ 到各顶点的距离的不同取值有 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2013年高考北京卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据正方体对称性直接得到一定相等的，再确定出其余的是否相等即可．如图，取底面 $ABCD$ 的中心 $O$，连接 $PA$，$PC$，$PO$．
因为 $AC \perp 平面 D{D_1}B$，又 $PO \subset 平面 D{D_1}B$，所以 $AC \perp PO$．
又 $O$ 是 $BD$ 的中点，所以 $PA = PC$．
同理，取 ${B_1}C$ 与 $B{C_1}$ 的交点 $H$，易证 ${B_1}C \perp 平面 {D_1}{C_1}B$，所以 ${B_1}C \perp PH$．
又 $H$ 是 ${B_1}C$ 的中点，所以 $P{B_1} = PC$，故 $PA = P{B_1} = PC$．
同理可证 $P{A_1} = P{C_1} = PD$．又 $P$ 是 $B{D_1}$ 的三等分点，所以 $PB \ne P{D_1} \ne P{B_1} \ne PD$．
故点 $P$ 到正方体的顶点的不同距离有 $ 4 $ 个．
因为 $AC \perp 平面 D{D_1}B$，又 $PO \subset 平面 D{D_1}B$，所以 $AC \perp PO$．又 $O$ 是 $BD$ 的中点，所以 $PA = PC$．
同理，取 ${B_1}C$ 与 $B{C_1}$ 的交点 $H$，易证 ${B_1}C \perp 平面 {D_1}{C_1}B$，所以 ${B_1}C \perp PH$．
又 $H$ 是 ${B_1}C$ 的中点，所以 $P{B_1} = PC$，故 $PA = P{B_1} = PC$．
同理可证 $P{A_1} = P{C_1} = PD$．又 $P$ 是 $B{D_1}$ 的三等分点，所以 $PB \ne P{D_1} \ne P{B_1} \ne PD$．
故点 $P$ 到正方体的顶点的不同距离有 $ 4 $ 个．
题目
答案
解析
备注
