某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积） \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
首先，思考当长方体内接与圆锥时，体积会更大；同时，当长方体的底面为正方形时，体积更大；接下来表示出长方体体积，求导求出最大值．由工件的三视图知此工件为圆锥．
如图，其中圆锥的高 $SO=2$，底面半径 $OA=1$．要使加工成的长方体足够大，则长方体内接于圆锥．
首先我们可证明当此长方体的高一定时，底面为正方形时底面积最大．
证明如下：设长方体底面长宽分别为 $a$，$b$，$QB=r$，$OQ=h$，则\[a^2+b^2=4r^2.\]当 $h$ 一定时，$r$ 为定值，\[ab\leqslant \dfrac 12{a^2+b^2}=2r^2.\]当且仅当 $a=b=\sqrt 2r$ 时等号成立．
然后我们表示长方体的体积．
由于 $\triangle SBQ\sim \triangle SAO$，所以\[\dfrac {QB}{OA}=\dfrac {SQ}{SO},\]即\[\dfrac {r}1=\dfrac {2-h}{2}.\]于是可得\[h=2-2r.\]长方体的体积为\[V=2r^2h=4r^2\left(1-r\right).\]设 $f\left(r\right)=4r^2\left( 1-r\right)$，则\[f'\left(r\right)=4r\left(2-3r\right),\]分析可知，当 $r=\dfrac 23$ 时，$f\left(r\right)$ 取得最大值，\[f\left(r\right)_{\max}=f\left(\dfrac 23\right)=\dfrac {16}{27}.\]而圆锥的体积为 $\dfrac {2{\mathrm \pi} }3$．所以材料的利用率为 $\dfrac 8{9{\mathrm \pi} }$．
如图，其中圆锥的高 $SO=2$，底面半径 $OA=1$．要使加工成的长方体足够大，则长方体内接于圆锥．首先我们可证明当此长方体的高一定时，底面为正方形时底面积最大．
证明如下：设长方体底面长宽分别为 $a$，$b$，$QB=r$，$OQ=h$，则\[a^2+b^2=4r^2.\]当 $h$ 一定时，$r$ 为定值，\[ab\leqslant \dfrac 12{a^2+b^2}=2r^2.\]当且仅当 $a=b=\sqrt 2r$ 时等号成立．
然后我们表示长方体的体积．
由于 $\triangle SBQ\sim \triangle SAO$，所以\[\dfrac {QB}{OA}=\dfrac {SQ}{SO},\]即\[\dfrac {r}1=\dfrac {2-h}{2}.\]于是可得\[h=2-2r.\]长方体的体积为\[V=2r^2h=4r^2\left(1-r\right).\]设 $f\left(r\right)=4r^2\left( 1-r\right)$，则\[f'\left(r\right)=4r\left(2-3r\right),\]分析可知，当 $r=\dfrac 23$ 时，$f\left(r\right)$ 取得最大值，\[f\left(r\right)_{\max}=f\left(\dfrac 23\right)=\dfrac {16}{27}.\]而圆锥的体积为 $\dfrac {2{\mathrm \pi} }3$．所以材料的利用率为 $\dfrac 8{9{\mathrm \pi} }$．
题目
答案
解析
备注
