已知集合\[\begin{split}A &= \left\{ \left( {x , y} \right)\mid x = n , y = na + b , n \in \mathbb Z \right\},\\B &= \left\{ \left( {x , y} \right)\mid x = m , y = 3{m^2} + 12 , m \in \mathbb Z \right\}.\end{split}\]若存在实数 $a , b$ 使得 $A \cap B \neq \varnothing $ 成立，称点 $\left( {a , b} \right)$ 为" $\alpha $ "点，则" $\alpha $ "点在平面区域$$C = \left\{ {\left( {x , y} \right)\mid {x^2} + {y^2} \leqslant 108} \right\}$$内的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，$A$ 与 $B$ 的交集即$$\left\{ \left( {x , y} \right)|y = ax + b = 3{x^2} + 12 , x \in \mathbb Z \right\},$$于是 $A \cap B$ 是否为空集取决于关于 $x$ 的方程 $ax + b = 3{x^2} + 12$ 是否存在整数解．
将 $x$ 看作参数，需要考虑直线系 $x \cdot a + b-3{x^2}-12 = 0$ 与圆 ${a^2} + {b^2} = 108$ 的位置关系．
原点到直线的距离为$$\dfrac{{3{x^2} + 12}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 3\sqrt {{x^2} + 1} + \frac{9}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} > 2\sqrt {27} = \sqrt {108},$$其中考虑到 $x \in {\mathbb {Z}}$，等号无法取到．因此满足条件的点 $\left( {a , b} \right)$ 不存在．
将 $x$ 看作参数，需要考虑直线系 $x \cdot a + b-3{x^2}-12 = 0$ 与圆 ${a^2} + {b^2} = 108$ 的位置关系．
原点到直线的距离为$$\dfrac{{3{x^2} + 12}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 3\sqrt {{x^2} + 1} + \frac{9}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} > 2\sqrt {27} = \sqrt {108},$$其中考虑到 $x \in {\mathbb {Z}}$，等号无法取到．因此满足条件的点 $\left( {a , b} \right)$ 不存在．
题目
答案
解析
备注
