已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的右焦点为 $F$，短轴的一个端点为 $M$，直线 $l:3x-4y=0$ 交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点．若 ${\left|{AF}\right|}+{\left|{BF}\right|}=4$，点 $M$ 到直线 $l$ 的距离不小于 $\dfrac 45$，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据椭圆的对称性，再结合椭圆定义，得出 $a=2$，将点到直线距离，用代数式表达解得 $b$ 的取值范围，进而，得到答案．设椭圆的焦距为 $2c$，左焦点为 $F_1$，则根据椭圆的对称性，知\[|AF|+|BF|=|AF|+|AF_1|=2a=4\]解得 $a=2$，再根据点 $M$ 到直线 $l$ 的距离不小于 $\dfrac45$，得\[d=\dfrac{|3\cdot0-4\cdot b|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}\geqslant\dfrac45,\]解得 $1\leqslant b<2$，再结合 $e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}$，得 $0<e\leqslant\dfrac{\sqrt3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
