根据二倍角公式，将题中问题进行变形为 $k\sin2x<2x$，再构造函数 $f\left(x\right)=x-\sin x$，通过求导分析得出，在 $\left(0,{\mathrm \pi} \right)$ 上，恒有 $\sin x<x$，再从充分性和必要性两个方面分析即可得到答案．由 $\sin x\cos x=\dfrac 12\sin 2x$可得，对任意 $x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)$，$k\sin x\cos x<x$，即对任意 $x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)$，$k\sin 2x<2x$．
构造函数 $f\left(x\right)=x-\sin x,x\in \left(0,{\mathrm \pi} \right)$，则\[f'\left(x\right)=1-\cos x.\]因为 $f'\left(x\right)>0$ 恒成立，所以函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0, {\mathrm \pi} \right)$ 上单调递增，所以 $f\left(x\right)>f\left(0\right)=0$，于是可得：在 $\left(0,{\mathrm \pi} \right)$ 上，$x>\sin x$ 恒成立．
于是对任意 $x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} 2 \right)$，若 $k<1$，则\[k\sin 2x<\sin 2x<2x,\]所以必要性成立；
而 $ k=1 $ 时，$\sin 2x<2x$ 也成立，所以充分性不成立．
所以“对任意 $x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)$，$k\sin x\cos x<x$”是“$k<1$”的必要而不充分条件．