已知圆 $C:{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 1$，平面区域 $\Omega:\begin{cases}
x + y - 7 \leqslant 0,\\
x - y + 3 \geqslant 0 ,\\
y \geqslant 0. \\
\end{cases} $ 若圆心 $C \in \Omega $，且圆 $ C $ 与 $ x $ 轴相切，则 ${a^2} + {b^2}$ 的最大值为 \((\qquad)\)
x + y - 7 \leqslant 0,\\
x - y + 3 \geqslant 0 ,\\
y \geqslant 0. \\
\end{cases} $ 若圆心 $C \in \Omega $，且圆 $ C $ 与 $ x $ 轴相切，则 ${a^2} + {b^2}$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考福建卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
画出平面区域，根据题意得出圆心 $(a,b)$ 在直线 $y=1$ 和平面区域相交的部分，并且注意到 $a^2+b^2$ 表示点 $(a,b)$ 到原点的距离．作出平面区域 $\Omega$，如图，
由题意知，圆 $C$ 的圆心为 $C\left(a,b\right)$，半径 $r=1$，且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，所以 $b=\pm1$，又圆心在平面区域内，因此，可知 $b=1$，即圆 $C$ 的圆心在直线 $y=1$ 与平面区域 $\Omega$ 相交的线段上，目标函数 $z=a^2+b^2$ 表示点 $C$ 到原点距离的平方，因此，当圆心在点 $A$ 位置时，$z$ 取得最大值为 $37$．
由题意知，圆 $C$ 的圆心为 $C\left(a,b\right)$，半径 $r=1$，且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，所以 $b=\pm1$，又圆心在平面区域内，因此，可知 $b=1$，即圆 $C$ 的圆心在直线 $y=1$ 与平面区域 $\Omega$ 相交的线段上，目标函数 $z=a^2+b^2$ 表示点 $C$ 到原点距离的平方，因此，当圆心在点 $A$ 位置时，$z$ 取得最大值为 $37$．
题目
答案
解析
备注
