在平面直角坐标系中，两点 ${P_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right),{P_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ 间的“$ {\mathrm{L}}- $ 距离”定义为 $ || {P_1}{P_2} |= | {x_1} - {x_2} | + | {y_1} - {y_2} | $，则平面内与 $ x $ 轴上两个不同的定点 ${F_1},{F_2}$ 的“$ {\mathrm{L}}- $ 距离”之和等于定值（大于 $ | | {F_1}{F_2} | $）的点的轨迹可以是 \((\qquad)\)
A:
B:
C:
D:
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意得出关于轨迹方程，通过取绝对值的条件进行分类讨论即可．设 $F_1\left(-c,0\right)$，$F_2\left(c,0\right)$，$P\left(x,y\right)$，则点 $P$ 满足：$||PF_1|+||PF_2|=2a\left(2a>||F_1F_2|\right)$，代入坐标，得 $|x+c|+|x-c|+2|y|=2a$．当 $y>0$ 时，\[y=\begin{cases}x+a,x<-c,\\a-c,-c\leqslant x\leqslant c,\\-x+a,x>c;\end{cases}\]当 $y\leqslant 0$ 时，\[y=\begin{cases}-x-a,x<-c,\\c-a,-c\leqslant x\leqslant c,\\x-a,x>c.\end{cases}\]所以可以得到到定点 $F_1$，$F_2$ 的“$\mathrm{L}-$ 距离之和”等于定值（大于 $||F_1F_2|$）的点的轨迹．
其他方法：
不妨设 $F_1、F_2$ 之间的距离为 $2$，到 $F_1\left(-1,0\right)$，$F_2\left(1,0\right)$ 的“$\mathrm{L}-$ 距离”之和为 $4$．先将 $x$ 轴，$y$ 轴及分别过 $F_1$，$F_2$ 且垂直于 $x$ 轴的垂线上满足条件的点求出，分别为 $\left(\pm 2,0\right)$，$\left(0,\pm 1\right)$，$\left(\pm 1,1\right)$，$\left(\pm 1,-1\right)$，可以排除 C，D．点 $M\left(-1,1\right)$ 与点 $N\left(-2,0\right)$ 连线的斜率为 $1$，可以推算出线段 $MN$ 上的点到 $F_1\left(-1,0\right)$，$F_2\left(1,0\right)$ 的“$\mathrm{L}-$ 距离”之和为 $4$，根据对称性可知，轨迹为A．
其他方法：
不妨设 $F_1、F_2$ 之间的距离为 $2$，到 $F_1\left(-1,0\right)$，$F_2\left(1,0\right)$ 的“$\mathrm{L}-$ 距离”之和为 $4$．先将 $x$ 轴，$y$ 轴及分别过 $F_1$，$F_2$ 且垂直于 $x$ 轴的垂线上满足条件的点求出，分别为 $\left(\pm 2,0\right)$，$\left(0,\pm 1\right)$，$\left(\pm 1,1\right)$，$\left(\pm 1,-1\right)$，可以排除 C，D．点 $M\left(-1,1\right)$ 与点 $N\left(-2,0\right)$ 连线的斜率为 $1$，可以推算出线段 $MN$ 上的点到 $F_1\left(-1,0\right)$，$F_2\left(1,0\right)$ 的“$\mathrm{L}-$ 距离”之和为 $4$，根据对称性可知，轨迹为A．
题目
答案
解析
备注
