如图，某飞行器在 $ 4 $ 千米高空水平飞行，从距着陆点 $A$ 的水平距离 $ 10 $ 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
确定三次函数的解析式需要四个条件．根据题意可得它在 $-5$ 和 $5$ 处都取得极值，且极值为 $2$ 和 $-2$，这正好四个条件．可设此三次函数为 $f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d$．求导得\[f'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c.\]由题意可得 $f\left(x\right)$ 在 $x=-5$ 处取得极大值，极大值为 $2$；在 $x=5$ 处取得极小值，极小值为 $-2$，所以\[\begin{cases}f\left(-5\right)=2,\\f\left(5\right)=-2,\\f'\left(-5\right)=0,\\f'\left(5\right)=0,\end{cases}\]解得 $a=\dfrac 1{125}$，$b=d=0$，$c=-\dfrac 35$．
题目
答案
解析
备注
