设 $\triangle {A_n}{B_n}{C_n}$ 的三边长分别为 ${a_n},{b_n},{c_n}$，$\triangle {A_n}{B_n}{C_n}$ 的面积为 ${S_n}$，$n = 1,2,3,\cdots $，若 ${b_1} > {c_1}$，${b_1} + {c_1} = 2{a_1}$，${a_{n + 1}} = {a_n}$，${b_{n + 1}} = \dfrac{{{c_n} + {a_n}}}{2}$，${c_{n + 1}} = \dfrac{{{b_n} + {a_n}}}{2}$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
本题注意到三角形的周长不变，边长 $ b_n $、$ c_n $ 逐渐向 $ a_1 $ 靠近，故三角形面积逐渐增大，无限接近等边三角形时的面积．由海伦公式可得三角形的面积为 $ S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)} $，
当三角形的一边 $ a $ 和周长 $ 2p $ 确定，另两边 $ b $、$ c $ 变化时，
由均值不等式得\[ \begin{split}S^2&\leqslant p\left(p-a\right)\left(\dfrac {p-b+p-c}2\right)^2 \\&=\dfrac14 a^2p\left(p-a\right),\end{split}\]当且仅当 $ b=c $ 时取得最大值，而 $ b $ 和 $ c $ 越接近，面积就越大．
分析知在 $\triangle {A_n}{B_n}{C_n}$ 中，$ a_n=a_1 $ 不变，而\[ \begin{split} &a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}\\&=2a_n+\dfrac {b_n+c_n}2\\&=2a_1+\dfrac 12 a_{1}+\dfrac{b_{n-1}+c_{n-1}}{2^2}
\\&=2a_1+\left(\dfrac 12 a_1+\dfrac 14 a_1\right)+\dfrac {b_{n-2}+c_{n-2}}{2^3}
\\&\cdots \cdots
\\&=2a_1+\left(\dfrac 12 a_1+\dfrac 14 a_1+\cdots+\dfrac 1{2^{n-1}}a_1\right)+\dfrac {b_1+c_1}{2^{n}}
\\&=2a_1+\left(1-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)a_1+\dfrac {2a_1}{2^n}
\\&=3a_1.\end{split} \]于是 $\triangle {A_n}{B_n}{C_n}$ 的周长是定值．
而 $ a_n $、$ b_n $、$ c_n $ 的变化情况如图所示：
可见 $ b_n $ 和 $ c_n $ 越来越接近于 $ a_n $（也即 $ a_1 $），
所以 $\left\{S_n\right\}$ 是个递增数列，越来越接近于 $ \dfrac12 a\sqrt {p\left(p-a\right)} $．
当三角形的一边 $ a $ 和周长 $ 2p $ 确定，另两边 $ b $、$ c $ 变化时，
由均值不等式得\[ \begin{split}S^2&\leqslant p\left(p-a\right)\left(\dfrac {p-b+p-c}2\right)^2 \\&=\dfrac14 a^2p\left(p-a\right),\end{split}\]当且仅当 $ b=c $ 时取得最大值，而 $ b $ 和 $ c $ 越接近，面积就越大．
分析知在 $\triangle {A_n}{B_n}{C_n}$ 中，$ a_n=a_1 $ 不变，而\[ \begin{split} &a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}\\&=2a_n+\dfrac {b_n+c_n}2\\&=2a_1+\dfrac 12 a_{1}+\dfrac{b_{n-1}+c_{n-1}}{2^2}
\\&=2a_1+\left(\dfrac 12 a_1+\dfrac 14 a_1\right)+\dfrac {b_{n-2}+c_{n-2}}{2^3}
\\&\cdots \cdots
\\&=2a_1+\left(\dfrac 12 a_1+\dfrac 14 a_1+\cdots+\dfrac 1{2^{n-1}}a_1\right)+\dfrac {b_1+c_1}{2^{n}}
\\&=2a_1+\left(1-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)a_1+\dfrac {2a_1}{2^n}
\\&=3a_1.\end{split} \]于是 $\triangle {A_n}{B_n}{C_n}$ 的周长是定值．
而 $ a_n $、$ b_n $、$ c_n $ 的变化情况如图所示：
可见 $ b_n $ 和 $ c_n $ 越来越接近于 $ a_n $（也即 $ a_1 $），所以 $\left\{S_n\right\}$ 是个递增数列，越来越接近于 $ \dfrac12 a\sqrt {p\left(p-a\right)} $．
题目
答案
解析
备注
