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在锐角 $\triangle{ABC}$ 中，下列结论中一定成立的是 \((\qquad)\)
A: ${\log_{\sin C}}{\dfrac{\sin A}{\cos B}}>0$
B: ${\log_{\sin C}}{\dfrac{\sin A}{\sin B}}>0$
C: ${\log_{\cos C}}{\dfrac{\cos A}{\cos B}}>0$
D: ${\log_{\cos C}}{\dfrac{\cos A}{\sin B}}>0$
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
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【答案】
D
【解析】
因为 $\triangle{ABC}$ 为锐角三角形，所以当 $A$ 确定时，$B\in\left(\dfrac{\pi}{2}-A,\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以\[\begin{split}0<\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-A\right)<\sin B<1,\end{split}\]即$$0<\cos A<\sin B<1,$$则$$0<\dfrac{\cos A}{\sin B}<1,$$又 $0<C<\dfrac{\pi}{2}$，所以$$0<\cos C<1,$$故$${\log_{\cos C}}\dfrac{\cos A}{\sin B}>0.$$
题目 答案 解析 备注
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