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设抛物线 $C:{y^2} = 2px\left(p > 0\right) $ 的焦点为 $F$，点 $M$ 在 $C$ 上，$\left| {MF} \right| = 5$．若以 $MF$ 为直径的圆过点 $\left( {0,2} \right)$，则 $C$ 的方程为 \((\qquad)\)
A: ${y^2} = 4x$ 或 ${y^2} = 8x$
B: ${y^2} = 2x$ 或 ${y^2} = 8x$
C: ${y^2} = 4x$ 或 ${y^2} = 16x$
D: ${y^2} = 2x$ 或 ${y^2} = 16x$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题考查抛物线的性质，设出点 $M\left(x_0,y_0\right)$ 列方程求解即可．设 $M\left(x_0,y_0\right)$，则 $F\left(\dfrac p2,0\right)$，且有\[\begin{cases}y_0^2=2px_0,\\x_0+\dfrac p2\overset{\left[a\right]}=5,\\\dfrac{y_0-2}{x_0}\cdot \dfrac{2-0}{0-\dfrac p2}\overset{\left[b\right]}=-1.\end{cases}\]（推导中用到[a]，[b]）
联立消去 $x_0$ 与 $y_0$，得 $p^2-10p+16=0$，解得 $p=2$ 或 $p=8$．
题目 答案 解析 备注
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