本题可计算根据条件，计算出两部分面积表达式，整理为 $b$ 关于 $a$ 的函数，在分析其取值．根据题意画出图形，根据面积相等得出 $a,b$ 的关系式，然后求出 $b$ 的取值范围．
由题意画出图形，如图（1）．由图可知，直线 $BC$ 的方程为 $x + y = 1$．由 ${\begin{cases}
x + y = 1 \\
y = ax + b \\
\end{cases}}$，解得\[M\left( {\dfrac{1 - b}{a + 1},\dfrac{a + b}{a + 1}} \right).\]易求得 $N\left( {0,b} \right)$，$D\left( { - \dfrac{b}{a},0} \right)$．
因为直线 $y = ax + b$ 将 $\triangle ABC$ 分割为面积相等的两部分，
所以 ${S_{\triangle BDM}} = \dfrac{1}{2}{S_{\triangle ABC}}$．
又 ${S_{\triangle BOC}} = \dfrac{1}{2}{S_{\triangle ABC}}$，所以 ${S_{\triangle CMN}} = {S_{\triangle ODN}}$，即\[\dfrac{1}{2} \times \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| \times b = \dfrac{1}{2}\left( {1 - b} \right) \times \left( {\dfrac{1 - b}{a + 1}} \right).\]整理得\[\dfrac{b^2}{a} = \dfrac{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}}{a + 1}.\]所以 $\dfrac{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}}{b^2} = \dfrac{1 + a}{a}$，所以 $\dfrac{1}{b} - 1 = \sqrt {1 + \dfrac{1}{a}} $，所以 $\dfrac{1}{b} = \sqrt {1 + \dfrac{1}{a}} + 1$，即\[b = \frac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{a}} + 1}},\]可以看出，当 $a$ 增大时，$b$ 也增大．
当 $a \to + \infty $ 时，$b \to \dfrac{1}{2}$，即 $b < \dfrac{1}{2}$；
当 $a \to 0$ 时，直线 $y = ax + b$ 接近于 $y = b$．
当 $y = b$ 时，如图（2），\[\dfrac{{{S_{\triangle CDM}}}}{{{S_{\triangle ABC}}}} = \dfrac{{C{N^2}}}{{C{O^2}}} = \dfrac{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}}{1^2} = \dfrac{1}{2}.\]所以 $1 - b = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，所以 $b = 1 - \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，所以 $b > 1 - \dfrac{\sqrt 2 }{2}$．
综上可知\[1 - \dfrac{\sqrt 2 }{2} < b < \dfrac{1}{2}.\]