设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的左、右焦点分别为 ${F_1}$，${F_2}$，$P$ 是 $C$ 上的点，$P{F_2} \perp {F_1}{F_2}$，$\angle P{F_1}{F_2} = 30^\circ $，则 $C$ 的离心率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考新课标Ⅱ卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
本题考查椭圆的概念与离心率的计算．根据题中条件得到关于 $a,b,c$ 的一个齐次式即可．不妨设点 $P$ 在第一象限，则 $P\left(c,\dfrac{b^2}a\right)$．
所以 $|PF_1|=\dfrac{b^2}a$，$|PF_2|=\dfrac{2b^2}a$．由椭圆的概念得\[|PF_1|+|PF_2|=2a,\]化简得 $3b^2=2a^2$．
又 $b^2=a^2-c^2$，所以离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 3 }{3}$．
所以 $|PF_1|=\dfrac{b^2}a$，$|PF_2|=\dfrac{2b^2}a$．由椭圆的概念得\[|PF_1|+|PF_2|=2a,\]化简得 $3b^2=2a^2$．
又 $b^2=a^2-c^2$，所以离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 3 }{3}$．
题目
答案
解析
备注
