查看数据源：591269cfe020e700094b0aa7
设 $\alpha ,\beta \in \left[ { - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2},\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right]$，且满足 $\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha = 1$，则 $\sin \alpha + \sin \beta $ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[ { - \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]$
B: $\left[ { - 1,\sqrt 2 } \right]$
C: $\left[ {0,\sqrt 2 } \right]$
D: $\left[ {1,\sqrt 2 } \right]$
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差角公式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    辅助角公式
【答案】
D
【解析】
因为 $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = 1$，而 $\alpha + \beta \in \left[ { - {\mathrm{\pi }},{\mathrm{\pi }}} \right]$，所以$$\alpha + \beta = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2},$$于是$$\alpha \in \left[ {0,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right],\beta = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2} - \alpha ,$$因此$$\sin \alpha + \sin \beta = \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}} \right) ,$$所以所求的取值范围是 $\left[ {1,\sqrt 2 } \right]$．
题目 答案 解析 备注
0.113858s