设抛物线 $C:{y^2} = 4x$ 的焦点为 $F$，直线 $l$ 过 $F$ 且与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $ \left|AF \right| = 3 \left|BF \right|$，则 $l$ 的方程为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考新课标Ⅱ卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题考查抛物线的几何性质．抛物线中与焦点相关的问题可以用抛物线的定义转化．假设点 $A$ 在第一象限，$|BF|=x$，则 $|AF|=3x$，如图：
由抛物线的定义得 $|AC|=3x-x=2x$，在 $\mathrm {Rt}\triangle ABC$ 中，\[\cos\alpha=\dfrac{2x}{4x}=\dfrac12,\]所以 $\alpha=\dfrac{\mathrm \pi} 3$，$\tan \alpha=\sqrt3$，则 $l$ 的方程为 $y = \sqrt 3 \left(x - 1\right)$；
同理，当点 $A$ 在第四象限时，可得 $l$ 的方程为 $y =- \sqrt 3 \left(x - 1\right)$．
由抛物线的定义得 $|AC|=3x-x=2x$，在 $\mathrm {Rt}\triangle ABC$ 中，\[\cos\alpha=\dfrac{2x}{4x}=\dfrac12,\]所以 $\alpha=\dfrac{\mathrm \pi} 3$，$\tan \alpha=\sqrt3$，则 $l$ 的方程为 $y = \sqrt 3 \left(x - 1\right)$；同理，当点 $A$ 在第四象限时，可得 $l$ 的方程为 $y =- \sqrt 3 \left(x - 1\right)$．
题目
答案
解析
备注
