若存在正数 $x$ 使 ${2^x}\left(x - a\right) < 1$ 成立，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考新课标Ⅱ卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
本题考查利用导数研究函数单调性与最值的相关问题，原不等式可以分离变量之后引入函数进行解决．因为 ${2^x} \left(x - a \right) < 1$，所以 $a > x - \dfrac{1}{2^x}$．
令 $f \left(x \right) = x - \dfrac{1}{2^x}$，所以 $f' \left(x \right) = 1 + {2^{ - x}}\ln 2 > 0$，所以 $f \left(x \right)$ 在 $ \left(0, + \infty \right)$ 上单调递增．
所以 $f \left(x \right) > f \left(0 \right) = 0 - 1 = - 1$，所以 $a$ 的取值范围为 $ \left( - 1, + \infty \right)$．
令 $f \left(x \right) = x - \dfrac{1}{2^x}$，所以 $f' \left(x \right) = 1 + {2^{ - x}}\ln 2 > 0$，所以 $f \left(x \right)$ 在 $ \left(0, + \infty \right)$ 上单调递增．
所以 $f \left(x \right) > f \left(0 \right) = 0 - 1 = - 1$，所以 $a$ 的取值范围为 $ \left( - 1, + \infty \right)$．
题目
答案
解析
备注
