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设函数 $f\left( x \right) = \sqrt 3 \sin \dfrac{{{\mathrm \pi} x}}{m}$，若存在 $f\left( x \right)$ 的极值点 ${x_0}$ 满足 $x_0^2 + {\left[ {f\left( {x_0} \right)} \right]^2} < {m^2}$，则 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left( { - \infty , - 6} \right) \cup \left( {6, + \infty } \right)$
B: $\left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( {4, + \infty } \right)$
C: $\left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( {2, + \infty } \right)$
D: $\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
由正弦型函数的性质化简所给不等式，再分离变量处理存在性问题．由题意，$\left[f\left(x_0\right)\right]^2=3$，且 $x_0=\left(k+\dfrac 1 2 \right)m,k\in \mathbb Z$，由题意知，存在 $k\in \mathbb Z$ 使得下面的不等式成立：\[\left[\left(k+\dfrac 12\right)^2-1\right]m^2<-3.\]从而有 $-\dfrac 3{m^2}>\left[\left(k+\dfrac 12\right)^2-1\right]_{\min}=-\dfrac34$．解得 $m^2>4$，即 $m$ 的取值范围是 $\left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( {2, + \infty } \right)$．
题目 答案 解析 备注
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