因为 $\triangle{ABC}$ 为锐角三角形，所以当 $A$ 确定时，$$B\in \left(\dfrac{\pi}{2}-A,\dfrac{\pi}{2}\right),$$考虑 $\sin B,\cos B$ 的范围\[\begin{split}&0<\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-A\right)<\sin B<1,\\&0<\cos B<\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-A\right)<1,.\end{split}\]所以\[\begin{split}&0<\cos A<\sin B<1<\dfrac{\pi}{2},\\&0<\cos B<\sin A<1<\dfrac{\pi}{2},\end{split}\]所以\[\begin{split}&\cos(\cos A)>\cos (\sin B),\\&\sin(\cos B)<\sin (\sin A).\end{split}\]故 ①③ 正确；
考虑 $\tan B$ 的范围$$\tan B>\tan \left(\dfrac{\pi}{2}-A\right),$$所以$$\tan B>\dfrac{\cos A}{\sin A}>\cos A>0,$$但 $\tan B$ 与 $\cos A$ 不一定在同一单调区间上，故 ②④ 错误．