本题是对平面向量的分解与数量积的综合考查．根据条件，可以以 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow {AD}$ 为基底，然后利用数量积公式，得到两个方程，解得 $\lambda$，$\mu$ 即可．因为 $\angle BAD = {120^ \circ }$，所以\[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} \overset{\left[a\right]}= \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos {120^ \circ } = - 2,\]（推导中用到[a]）
因为 $BE = \lambda BC$，$DF = \mu DC$，所以由向量的加减法得\[\begin{split}\overrightarrow {AE} &= \overrightarrow {AB} + \lambda \overrightarrow {AD} ,\\\overrightarrow {AF} &= \mu \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ,\end{split}\]因为 $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AF} = 1$，所以 $\left( {\overrightarrow {AB} + \lambda \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\mu \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = 1$，由平面向量的数量积展开得\[2\lambda + 2\mu - \lambda \mu \overset{\left[a\right]}= \dfrac{3}{2}, \quad \cdots \cdots ① \]同理由 $\overrightarrow {CE} \cdot \overrightarrow {CF} = - \dfrac{2}{3}$，可得\[\lambda \mu - \lambda - \mu = - \dfrac{2}{3}, \quad \cdots \cdots ② \]$ ① + ② $ 得 $\lambda + \mu = \dfrac{5}{6}$．