过双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的右顶点作 $x$ 轴的垂线，与 $C$ 的一条渐近线相交于 $A$．若以 $C$ 的右焦点为圆心、半径为 $ 4 $ 的圆经过 $A,O$ 两点（$O$ 为坐标原点），则双曲线 $C$ 的方程为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考江西卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题核心条件是“$A$，$O$ 在以 $C$ 为圆心的圆上，半径为 $4$”，可以列出等量关系式，结合条件进而求解．不妨设点 $ A $ 在第一象限，双曲线的右焦点为 $F$，则容易求得点 $ A $ 的坐标为 $ \left(a,b\right) $．
根据题意可得 $ |AF|=|OF|=4 $，即\[ c=\sqrt{\left(c-a\right)^2+b^2}=4, \]又 $a^2+b^2=c^2$，解得 $ a^2=4 $，$ b^2=12$，所以双曲线的方程为 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1$．
根据题意可得 $ |AF|=|OF|=4 $，即\[ c=\sqrt{\left(c-a\right)^2+b^2}=4, \]又 $a^2+b^2=c^2$，解得 $ a^2=4 $，$ b^2=12$，所以双曲线的方程为 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1$．
题目
答案
解析
备注
