已知函数 $f\left(x\right)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的偶函数，且在区间 $\left[ {0, + \infty } \right)$ 上单调递增，若实数 $a$ 满足 $f\left({\log _2}a\right) + f\left({\log _{\frac{1}{2}}}a\right) \leqslant 2f\left(1\right)$，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题利用已知函数性质，化简函数不等式进行求解．因为函数 $f\left(x\right)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的偶函数，且 ${\log _{\frac12}}a=-{\log _2}a$，
所以\[ \begin{split}f\left({\log _2}a\right)+f\left({\log _{\frac12}}a\right)&=f\left({\log _2}a\right)+f\left(-{\log _2}a\right)\\&\overset{\left[a\right]}=2f\left({\log _2}a\right)\\&\leqslant2f\left(1\right)\end{split} \]（推导中用到[a]），即 $f\left({\log _2}a\right)\leqslant f\left(1\right)$．
因为函数在区间 $\left[0,+\infty\right)$ 上单调递增，
所以 $f\left( \left|{\log _2}a \right|\right)\leqslant f\left(1\right)$，即 $ \left|{\log _2}a \right|\leqslant1$，
所以 $-1\leqslant{\log _2}a\leqslant1$，解得 $\dfrac12\leqslant a\leqslant2$，即 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac12,2\right]$．
所以\[ \begin{split}f\left({\log _2}a\right)+f\left({\log _{\frac12}}a\right)&=f\left({\log _2}a\right)+f\left(-{\log _2}a\right)\\&\overset{\left[a\right]}=2f\left({\log _2}a\right)\\&\leqslant2f\left(1\right)\end{split} \]（推导中用到[a]），即 $f\left({\log _2}a\right)\leqslant f\left(1\right)$．
因为函数在区间 $\left[0,+\infty\right)$ 上单调递增，
所以 $f\left( \left|{\log _2}a \right|\right)\leqslant f\left(1\right)$，即 $ \left|{\log _2}a \right|\leqslant1$，
所以 $-1\leqslant{\log _2}a\leqslant1$，解得 $\dfrac12\leqslant a\leqslant2$，即 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac12,2\right]$．
题目
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