本题考查利用导数判断函数零点个数的相关问题，分析函数单调性，结合值域进行判断．当 $a=0$ 时，$ f\left(x\right)=-3x^2+1 $，此时函数有两个零点$\dfrac{\sqrt 3}{3} $ 和 $ -\dfrac{\sqrt 3}{3} $，不符合题意；
当 $a>0$ 时，$ f'\left(x\right)=3ax\left(x-\dfrac 2a\right) $，函数 $f\left(x\right) $ 在 $\left(-\infty,0\right) $ 和 $\left(\dfrac 2a,+\infty\right) $ 上单调递增，在 $\left(0,\dfrac 2a\right) $ 上单调递减．因为 $f\left(-1\right)=-a-2<0 $，$ f\left(0\right)=1>0 $，所以 $f\left(x\right) $ 在 $ \left(-1,0\right) $ 上一定存在一个零点，不符合题意；
当 $a<0$ 时，$ f'\left(x\right)=3ax\left(x-\dfrac 2a\right) $，函数 $f\left(x\right) $ 在 $\left(-\infty,\dfrac 2a\right) $ 和 $\left(0,+\infty\right) $ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 2a,0\right) $ 上单调递增．因为 $ f\left(0\right)=1>0 $，$ f\left(1\right)=a-2<0$，所以 $f\left(x\right) $ 在 $ \left(0,1\right) $ 上一定存在一个零点．要使得 $f\left(x\right)$ 存在唯一的零点，则需 $ f\left(\dfrac 2a\right)>0 $，解得 $ a<-2 $．