已知非零向量 $ \overrightarrow a$，$\overrightarrow b $ 满足 $ {\left|{\overrightarrow b}\right|}=4{\left|{\overrightarrow a}\right|} $，且 $ \overrightarrow a\perp \left(2\overrightarrow a+\overrightarrow b\right) $，则 $ \overrightarrow a $ 与 $ \overrightarrow b $ 的夹角为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考重庆卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题应用 $\overrightarrow a$ 和 $2\overrightarrow a+\overrightarrow b$ 垂直的条件，对它们作数量积即可．因为 $ \overrightarrow a\perp \left(2\overrightarrow a+\overrightarrow b\right) $，所以 $ \overrightarrow a\cdot \left(2\overrightarrow a+\overrightarrow b\right) =0$，所以 $2\left|\overrightarrow a\right|^2+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0$，即\[2\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\cos \left \langle \overrightarrow a,\overrightarrow b\right \rangle =0.\]将题中条件 $ {\left|{\overrightarrow b}\right|}=4{\left|{\overrightarrow a}\right|} $ 代入可得\[\cos \left \langle \overrightarrow a,\overrightarrow b\right\rangle=-\dfrac 12,\]所以 $ \overrightarrow a $ 与 $ \overrightarrow b $ 的夹角为 $ \dfrac{2{\mathrm \pi} }{3} $．
题目
答案
解析
备注
