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已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{m^2}+y^2=1\left(m>1\right)$ 与双曲线 $C_2:\dfrac{x^2}{n^2}-y^2=1\left(n>0\right)$ 的焦点重合，$e_1,e_2$ 分别为 $C_1,C_2$ 的离心率，则 \((\qquad)\)
A: $m>n$ 且 $e_1e_2>1$
B: $m>n$ 且 $e_1e_2<1$
C: $m<n$ 且 $e_1e_2>1$
D: $m<n$ 且 $e_1e_2<1$
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
    >
    椭圆的基本量
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
A
【解析】
根据焦点重合表示出 $m$ 和 $n$ 的关系，从而表示出 $e_1e_2$，然后判断大小即可．由题意知\[{{m}^{2}}-1={{n}^{2}}+1,\]（推导中用到：）即\[{{m}^{2}}={{n}^{2}}+2.\]而\[{{\left({{e}_{1}}{{e}_{2}}\right)}^{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}-1}{{{m}^{2}}}\cdot \dfrac{{{n}^{2}}+1}{{{n}^{2}}}=\left(1-\dfrac{1}{{{m}^{2}}}\right)\left(1+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\right),\]代入\[{{m}^{2}}={{n}^{2}}+2\]得\[m>n,{{\left({{e}_{1}}{{e}_{2}}\right)}^{2}}>1.\]
题目 答案 解析 备注
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