设双曲线 $ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right) $ 的右焦点是 $F$，左、右顶点分别是 $A_1$，$A_2$，过 $F$ 作 $A_1A_2$ 的垂线与双曲线交于 $B$，$C$ 两点．若 $A_1B\perp A_2C$，则该双曲线的渐近线的斜率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考重庆卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题先分别表达 $A_1B$ 和 $A_2C$ 的斜率，然后利用两直线垂直斜率乘积为 $-1$ 的结论得到 $a,b$ 之间的关系即可．由题可知 $A_1\left(-a,0\right)$，$A_2\left(a,0\right)$；根据双曲线的通径计算公式可得 $\left|BF\right|=\left|CF\right|=\dfrac {b^2}a$，所以 $B\left(c,\dfrac{b^2}{a}\right)$，$C\left(c,-\dfrac{b^2}{a}\right)$．
因为 $A_1B\perp A_2 C$，所以 $k_{A_1B}\cdot k_{A_2 C}=-1\cdots\cdots ① $，利用斜率计算公式可算得\[k_{A_1B}=\dfrac {b^2}{a\left(c+a\right)},k_{A_2C}=\dfrac {b^2}{a\left(a-c\right)},\]将它们代入 ① 式并结合 $c^2=a^2+b^2$可得 $a=b$，所以渐近线斜率为 $\pm \dfrac ba=\pm 1$．
因为 $A_1B\perp A_2 C$，所以 $k_{A_1B}\cdot k_{A_2 C}=-1\cdots\cdots ① $，利用斜率计算公式可算得\[k_{A_1B}=\dfrac {b^2}{a\left(c+a\right)},k_{A_2C}=\dfrac {b^2}{a\left(a-c\right)},\]将它们代入 ① 式并结合 $c^2=a^2+b^2$可得 $a=b$，所以渐近线斜率为 $\pm \dfrac ba=\pm 1$．
题目
答案
解析
备注
