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如图，过抛物线 $C:{y^2} = 8x$ 上一点 $P\left( {2, 4} \right)$ 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于 $A,B$ 两点．则直线 $AB$ 的斜率为 \((\qquad)\)
A: $-\dfrac{\sqrt3}2$
B: $-1$
C: $-\dfrac{\sqrt5}2$
D: 以上答案都不对
【难度】
【出处】
2007年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线中的参数取值及范围问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的性质
    >
    抛物线的算术平均性质
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    面积计算
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的弦长与面积问题
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的最值
【答案】
B
【解析】
抛物线上任意两点 $M $ $\left( {{x_1}, {y_1}} \right),N\left( {{x_2}, {y_2}} \right)$ 连线的斜率$$ {k_{MN}} = \dfrac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{{y_1} - {y_2}}}{{\dfrac{{{y_1}^2}}{8} - \dfrac{{{y_2}^2}}{8}}} = \dfrac{8}{{{y_1} + {y_2}}},$$设 $A\left( {{x_1}, {y_1}} \right),B\left( {{x_2}, {y_2}} \right)$，则$$ {k_{PA}} = \dfrac{8}{{{y_1} + 4}} , {k_{PB}} = \dfrac{8}{{{y_2} + 4}} , {k_{AB}} = \dfrac{8}{{{y_1} + {y_2}}},$$显然$${k_{AB}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{k_{PA}}}} + \dfrac{1}{{{k_{PB}}}} - 1}} = - 1.$$
题目 答案 解析 备注
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