查看数据源：5a1cdedefeda7400083f71c2
已知坐标平面 $xOy$ 内椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点 $P(x_0,y_0)$，$F_1,F_2$ 是椭圆的两个焦点，过 $F_1,F_2$ 作椭圆在 $P$ 点处切线的垂线，垂足分别为 $M,N$．则 $MF_1\cdot NF_2$ 的值为 \((\qquad)\)
A: $a^2$
B: $b^2$
C: $a^2-b^2$
D: 以上答案都不对
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的定点定值问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的性质
    >
    椭圆的光学性质
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的定义
    >
    椭圆的第一定义
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    平面几何中的常用知识
    >
    圆幂定理
【答案】
B
【解析】
设 $F_2$ 关于切线的对称点为 $F_2'$，连接 $F_1F_2'$，则 $F_1F_2'=2a$，进而 $ON=a$．同理 $OM=a$，因此点 $M,N$ 在定圆 $x^2+y^2=a^2$ 上．延长 $MF_1$ 交圆 $x^2+y^2=a^2$ 于点 $Q$，设椭圆的长轴端点分别为 $A,B$，则根据相交弦定理，可得\[MF_1\cdot NF_2=MF_1\cdot F_1Q=AF_1\cdot F_1B=b^2.\]
题目 答案 解析 备注
0.112244s