已知 $M\left(x_0,y_0\right)$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{2}-y^2=1$ 上的一点，$F_1$，$F_2$ 是 $C$ 的两个焦点．若 $\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}<0$，则 $y_0$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
首先把数量积不等式 $\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}<0$ 表达为坐标形式，然后利用双曲线方程化简，解不等式．由双曲线方程可得 $F_1\left(-\sqrt 3,0\right) $，$F_2\left(\sqrt 3,0\right)$，所以 $\overrightarrow{MF_1}=\left(-\sqrt 3-x_0,-y_0\right)$，$\overrightarrow{MF_2}=\left(\sqrt 3-x_0,-y_0\right)$．
因为 $\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}<0$，所以 $\left(-\sqrt 3-x_0\right)\left(\sqrt 3-x_0\right)+y_0^2<0$，即 $x_0^2-3+y_0^2<0$．
因为 $M\left(x_0,y_0\right)$ 在双曲线上，所以 $\dfrac{x_0^2}{2}-y_0^2=1$，即 $x_0^2=2+2y_0^2$，所以 $2+2y_0^2-3+y_0^2<0$，解得 $-\dfrac {\sqrt 3}3<y_0<\dfrac {\sqrt 3}3$．
因为 $\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}<0$，所以 $\left(-\sqrt 3-x_0\right)\left(\sqrt 3-x_0\right)+y_0^2<0$，即 $x_0^2-3+y_0^2<0$．
因为 $M\left(x_0,y_0\right)$ 在双曲线上，所以 $\dfrac{x_0^2}{2}-y_0^2=1$，即 $x_0^2=2+2y_0^2$，所以 $2+2y_0^2-3+y_0^2<0$，解得 $-\dfrac {\sqrt 3}3<y_0<\dfrac {\sqrt 3}3$．
题目
答案
解析
备注
