设函数 $f\left(x\right)={\mathrm{e}^x}\left(2x-1\right)-ax+a$，其中 $a<1$，若存在唯一的整数 $x_0$ 使得 $f\left(x_0\right)<0$，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
首先观察函数，发现 $f\left(0\right)=-1+a<0$，题目转化为函数仅在 $ x_0=0 $ 时满足不等式，结合导数判断函数单调性从而解决问题．另外此题也可以用特殊值验证的方法解决．首先 $f\left(0\right)=-1+a<0$，所以唯一的整数 $ x_0 $ 为 $0$．
而 $f\left(-1\right)=\dfrac{-3}{\mathrm e}+2a\geqslant 0$，解得 $a\geqslant \dfrac{3}{2\mathrm e}$．
又 $a<1$，对 $f\left(x\right)$ 求导得 $f'\left(x\right)={\mathrm e}^x\left(2x+1\right)-a$，
当 $x<-\dfrac12$ 时，$f'\left(x\right)<0$；
当 $x>0$ 时，$f'\left(x\right)>0$．
从而 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac12\right)$ 上单调递减，在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递增．
而当 $a\geqslant \dfrac{3}{2\mathrm e}$ 时，有 $f\left(-1\right)>0$，$f\left(0\right)<0$，$f\left(1\right)>0$，
故在 $\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)$ 上 $f\left(x\right)>0$，$f\left(0\right)<0$，满足题意．
所以满足条件的 $a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 3{2\mathrm e},1\right)$．
而 $f\left(-1\right)=\dfrac{-3}{\mathrm e}+2a\geqslant 0$，解得 $a\geqslant \dfrac{3}{2\mathrm e}$．
又 $a<1$，对 $f\left(x\right)$ 求导得 $f'\left(x\right)={\mathrm e}^x\left(2x+1\right)-a$，
当 $x<-\dfrac12$ 时，$f'\left(x\right)<0$；
当 $x>0$ 时，$f'\left(x\right)>0$．
从而 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac12\right)$ 上单调递减，在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递增．
而当 $a\geqslant \dfrac{3}{2\mathrm e}$ 时，有 $f\left(-1\right)>0$，$f\left(0\right)<0$，$f\left(1\right)>0$，
故在 $\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)$ 上 $f\left(x\right)>0$，$f\left(0\right)<0$，满足题意．
所以满足条件的 $a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 3{2\mathrm e},1\right)$．
题目
答案
解析
备注
