已知 $F$ 为抛物线 ${y^2}= x$ 的焦点，点 $A , B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}= 2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $\triangle ABO$ 与 $\triangle AFO$ 面积之和的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
画出示意图，如图．
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则由 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$，得$$x_1x_2+y_1y_2=2,$$即$$x_1x_2-\sqrt{x_1x_2}-2=0,$$从而 $x_1x_2=4$，因此直线 $AB$ 恒过点 $(2,0)$，因此 $\triangle ABO$ 与 $\triangle AFO$ 的面积之和为$$\dfrac 12\cdot 2\cdot |y_1-y_2|+\dfrac 12\cdot\dfrac 14\cdot|y_1|=\left|\dfrac 98y_1-y_2\right|=\dfrac 98\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\geqslant 2\sqrt{\dfrac 98\sqrt{x_1x_2}}=3,$$等号当且仅当 $\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{64}{81}$ 时取得．因此所求面积之和的最小值为 $3$．
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则由 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$，得$$x_1x_2+y_1y_2=2,$$即$$x_1x_2-\sqrt{x_1x_2}-2=0,$$从而 $x_1x_2=4$，因此直线 $AB$ 恒过点 $(2,0)$，因此 $\triangle ABO$ 与 $\triangle AFO$ 的面积之和为$$\dfrac 12\cdot 2\cdot |y_1-y_2|+\dfrac 12\cdot\dfrac 14\cdot|y_1|=\left|\dfrac 98y_1-y_2\right|=\dfrac 98\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\geqslant 2\sqrt{\dfrac 98\sqrt{x_1x_2}}=3,$$等号当且仅当 $\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{64}{81}$ 时取得．因此所求面积之和的最小值为 $3$．
题目
答案
解析
备注
