设函数 $f\left(x\right)=\ln\left(1+|x|\right)-\dfrac{1}{1+x^2}$，则使得 $f\left(x\right)>f\left(2x-1\right)$ 成立的 $x$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题的切入点是函数是偶函数且在 $\left(0,+\infty\right)$ 上为增函数，然后结合函数的单调性与奇偶性求解．法一：
当 $ x\geqslant 0 $ 时，$f\left(x\right)=\ln\left(1+x\right)-\dfrac{1}{1+x^2}$，
在 $\left(0,+\infty\right)$ 上 $y=\ln\left(1+x\right)$ 单调递增，由复合函数知 $-\dfrac{1}{1+x^2}$ 也单调递增，
根据单调性的性质知，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递增．
又 $f\left(x\right)$ 为偶函数，所以\[\begin{split}f\left(x\right)>f\left(2x-1\right)&\Leftrightarrow f\left(|x|\right)>f\left(|2x-1|\right)\\&\overset{\left[a\right]}\Leftrightarrow |x|>|2x-1|,\end{split}\]（推导中用到[a]）．
解得 $\dfrac{1}{3}<x<1$．
法二：
当 $ x\geqslant 0 $ 时，$f'\left(x\right)=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2x}{\left(1+x^2\right)^2}>0 $，所以 $ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left(0,+\infty\right) $ 上为增函数．
又函数 $ f\left(x\right) $ 为偶函数，
所以 $f\left(x\right) $ 在区间 $\left(-\infty,0\right) $ 上为减函数，
又 $f\left(x\right)>f\left(2x-1\right)$，所以 $ f\left(|x|\right)>f\left(|2x-1|\right)$，$ |2x-1|<|x| $，解得 $ \dfrac13<x<1 $．
当 $ x\geqslant 0 $ 时，$f\left(x\right)=\ln\left(1+x\right)-\dfrac{1}{1+x^2}$，
在 $\left(0,+\infty\right)$ 上 $y=\ln\left(1+x\right)$ 单调递增，由复合函数知 $-\dfrac{1}{1+x^2}$ 也单调递增，
根据单调性的性质知，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递增．
又 $f\left(x\right)$ 为偶函数，所以\[\begin{split}f\left(x\right)>f\left(2x-1\right)&\Leftrightarrow f\left(|x|\right)>f\left(|2x-1|\right)\\&\overset{\left[a\right]}\Leftrightarrow |x|>|2x-1|,\end{split}\]（推导中用到[a]）．
解得 $\dfrac{1}{3}<x<1$．
法二：
当 $ x\geqslant 0 $ 时，$f'\left(x\right)=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2x}{\left(1+x^2\right)^2}>0 $，所以 $ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left(0,+\infty\right) $ 上为增函数．
又函数 $ f\left(x\right) $ 为偶函数，
所以 $f\left(x\right) $ 在区间 $\left(-\infty,0\right) $ 上为减函数，
又 $f\left(x\right)>f\left(2x-1\right)$，所以 $ f\left(|x|\right)>f\left(|2x-1|\right)$，$ |2x-1|<|x| $，解得 $ \dfrac13<x<1 $．
题目
答案
解析
备注
