设双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$ 的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$，过 $F$ 作 $AF$ 的垂线与双曲线交于 $B$，$C$ 两点，过 $B$，$C$ 分别作 $AC$，$AB$ 的垂线，两垂线交于点 $D$．若 $D$ 到直线 $BC$ 的距离小于 $a+\sqrt{a^2+b^2}$，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题目描述，首先可判断点 $D$ 在 $x$ 轴上，然后表示出 $B,C,A$ 坐标，继而求出 $BD$ 方程，求得点 $D$ 坐标，利用它到 $BC$ 的距离小于 $a+\sqrt{a^2+b^2}$ 得到 $a,b$ 的关系，从而求得渐近线斜率的取值范围．由对称性可知，两条垂线的交点 $D$ 为 $x$ 轴上的一个点，如图所示：
根据双曲线的几何性质可求得 $A\left(a,0\right)$，$F\left(c,0\right)$，$B\left(c,\dfrac{b^2}{a}\right)$，$C\left(c,-\dfrac{b^2}{a}\right)$，设 $D\left(x,0\right)$，直线 $AC$ 的斜率为 $-\dfrac{b^2}{ac-a^2}$，故直线 $BD$ 的斜率为 $\dfrac{ac-a^2}{b^2}$，所以直线 $BD$ 的方程为 $y-\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{ac-a^2}{b^2}\left(x-c\right)$，所以点 $D$ 的坐标为 $\left(c-\dfrac{b^4}{a^2\left(c-a\right)},0\right)$，因为 $ D$ 到 $BC$ 的距离小于 $a+\sqrt {a^2+b^2}$，所以 $\dfrac{b^4}{a^2\left(c-a\right)}<a+\sqrt {a^2+b^2}$，结合 $c^2=a^2+b^2$解得 $\dfrac{b^2}{a^2}<1$，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是 $\left(-1,0\right)\cup \left(0,1\right)$．
根据双曲线的几何性质可求得 $A\left(a,0\right)$，$F\left(c,0\right)$，$B\left(c,\dfrac{b^2}{a}\right)$，$C\left(c,-\dfrac{b^2}{a}\right)$，设 $D\left(x,0\right)$，直线 $AC$ 的斜率为 $-\dfrac{b^2}{ac-a^2}$，故直线 $BD$ 的斜率为 $\dfrac{ac-a^2}{b^2}$，所以直线 $BD$ 的方程为 $y-\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{ac-a^2}{b^2}\left(x-c\right)$，所以点 $D$ 的坐标为 $\left(c-\dfrac{b^4}{a^2\left(c-a\right)},0\right)$，因为 $ D$ 到 $BC$ 的距离小于 $a+\sqrt {a^2+b^2}$，所以 $\dfrac{b^4}{a^2\left(c-a\right)}<a+\sqrt {a^2+b^2}$，结合 $c^2=a^2+b^2$解得 $\dfrac{b^2}{a^2}<1$，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是 $\left(-1,0\right)\cup \left(0,1\right)$．
题目
答案
解析
备注
