设实数 $r > 1$，如果复平面上的动点 $z$ 满足 $|z| = r$，则动点 $\omega = z + \dfrac{1}{z}$ 的轨迹是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
令 $z = r\left( {\cos \theta + {\mathrm{i}}\sin \theta } \right)$，则\[\omega = r\left( {\cos \theta + {\mathrm{i}}\sin \theta } \right) + \dfrac{1}{r}\left( {\cos \theta - {\mathrm{i}}\sin \theta } \right) = \left( {r + \dfrac{1}{r}} \right)\cos \theta + {\mathrm{i}} \cdot \left( {r - \dfrac{1}{r}} \right)\sin \theta .\]设 $\omega = x + y{\mathrm{i}}$，则$$\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {r + \dfrac{1}{r}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{{\left( {r - \dfrac{1}{r}} \right)}^2}}} = 1.$$这是一个椭圆．因为$${c^2} = {\left( {r + \dfrac{1}{r}} \right)^2} - {\left( {r - \dfrac{1}{r}} \right)^2} = 4,$$所以焦距为 $4$．
题目
答案
解析
备注
