已知函数 $f\left(x\right)=\begin{cases} \dfrac{1}{x+1}-3,&x\in\left(-1,0\right], \\ x,&x\in\left(0,1\right], \end{cases}$ 且 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-mx-m$ 在 $\left(-1,1\right]$ 内有且仅有两个不同的零点，则实数 $ m $ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
观察得 $g(x)$ 图象过定点 $(-1,0)$，然后画出 $f(x)$ 在 $(-1,1]$ 图象，通过观察图象得出两个图象有且仅有两个交点时 $m$ 的取值范围．$g\left(x\right)=f\left(x\right)-mx-m$ 的零点即 $y=f\left(x\right)$ 和 $y=mx+m$ 的交点．
如图，画出 $f\left(x\right)$ 的图象，
而 $y=mx+m$ 斜率为 $m$ 且必过点 $\left(-1,0\right)$，当 $f\left(x\right)$ 和直线 $y=mx+m$ 有两个交点时，符合题意．图示 $l_1,l_2,l_3$ 和 $x$ 轴为直线 $y=mx+m$ 的临界位置，利用两点求斜率公式可求得 $l_2,l_3$ 斜率分别为 $-2,\dfrac 12$．由于 $l_3$ 和 $f\left(x\right)$ 相切，所以根据导数的几何意义可求得 $l_1$ 斜率为 $-\dfrac 94$．所以实数 $m$ 的取值范围为 $\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$．
如图，画出 $f\left(x\right)$ 的图象，
而 $y=mx+m$ 斜率为 $m$ 且必过点 $\left(-1,0\right)$，当 $f\left(x\right)$ 和直线 $y=mx+m$ 有两个交点时，符合题意．图示 $l_1,l_2,l_3$ 和 $x$ 轴为直线 $y=mx+m$ 的临界位置，利用两点求斜率公式可求得 $l_2,l_3$ 斜率分别为 $-2,\dfrac 12$．由于 $l_3$ 和 $f\left(x\right)$ 相切，所以根据导数的几何意义可求得 $l_1$ 斜率为 $-\dfrac 94$．所以实数 $m$ 的取值范围为 $\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$．
题目
答案
解析
备注
