如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
确定三次函数的解析式需要四个条件．由题意可得到它分别在 $x=0$ 和 $x=2$ 处的导数值和函数值，刚好四个条件．设此三次函数为 $f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d$，则 $f'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c$．依题意，这个三次函数满足四个条件，过 $\left(0,0\right),\left(2,0\right)$ 点，在 $x=0$ 处导数值为 $-1$，在 $x=2$ 处的导数值为 $3$，即\[\begin{cases}f\left(0\right)=0,\\f\left(2\right)=0,\\f'\left(0\right)=-1,\\f'\left(2\right)=3,\end{cases}\]解得 $a=\dfrac 12$，$b=-\dfrac 12$，$c=-1$，$d=0$．
题目
答案
解析
备注
