已知 $0 < \theta < \dfrac{\mathrm \pi} {4}$，则双曲线 ${C_1}:\dfrac{x^2}{{{{\sin }^2}\theta }} - \dfrac{y^2}{{{{\cos }^2}\theta }} = 1$ 与 ${C_2}:\dfrac{y^2}{{{{\cos }^2}\theta }} - \dfrac{x^2}{{{{\sin }^2}\theta }} = 1$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
本题考查双曲线的基本量，需要结合同角三角函数的基本关系式求解．因为 $0 < \theta < \dfrac{\mathrm \pi} {4}$，所以 $0<\sin \theta<\dfrac{\sqrt 2}2<\cos \theta$．所以两条双曲线的实轴长和虚轴长不相等．
而 $C_1$ 的离心率 $e_1=\tan \theta$，$C_2$ 的离心率 $e_2=\dfrac 1{\tan \theta}$，所以离心率也不相等．
由 $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$可得，它们的焦距相等，都为 $2$．
而 $C_1$ 的离心率 $e_1=\tan \theta$，$C_2$ 的离心率 $e_2=\dfrac 1{\tan \theta}$，所以离心率也不相等．
由 $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$可得，它们的焦距相等，都为 $2$．
题目
答案
解析
备注
