$\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，$AC=2$，$M$ 是 $AB$ 的中点，将 $\triangle ACM$ 沿 $CM$ 翻折，使 $A,B$ 两点的距离为 $2\sqrt 2$，则三棱锥 $A-BCM$ 的体积等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
如图，作 $BD$ 垂直于 $CM$ 的延长线于 $D$，$AF\perp CM$ 于 $F$，作 $EF\parallel BD$ 且 $EF=BD$，连结 $BE$．
显然$$AF=FE=BD=\sqrt 3 , EB=DF=2,$$所以\[AE^{2}=AB^{2}-EB^{2}=8-4=4.\]三棱锥 $A-BCM$ 的高 $h$ 为点 $A$ 到平面 $BCM$ 的距离，即等腰 $\triangle AEF$ 中点 $A$ 到边 $EF$ 的距离．根据面积相等可求得$$h=\dfrac{2\cdot \sqrt{3-1}}{\sqrt 3}=\dfrac{2\sqrt 6}{3},$$所以三棱锥 $A-BCM$ 的体积为\[V=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt 3\cdot \dfrac{2\sqrt 6}{3}=\dfrac{2\sqrt 2}{3}.\]
显然$$AF=FE=BD=\sqrt 3 , EB=DF=2,$$所以\[AE^{2}=AB^{2}-EB^{2}=8-4=4.\]三棱锥 $A-BCM$ 的高 $h$ 为点 $A$ 到平面 $BCM$ 的距离，即等腰 $\triangle AEF$ 中点 $A$ 到边 $EF$ 的距离．根据面积相等可求得$$h=\dfrac{2\cdot \sqrt{3-1}}{\sqrt 3}=\dfrac{2\sqrt 6}{3},$$所以三棱锥 $A-BCM$ 的体积为\[V=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt 3\cdot \dfrac{2\sqrt 6}{3}=\dfrac{2\sqrt 2}{3}.\]
题目
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