设实数 $x$，$y$ 满足 $\begin{cases}
2x+y\leqslant10,\\x+2y\leqslant14,\\x+y\geqslant6,
\end{cases}$ 则 $xy$ 的最大值为 \((\qquad)\)
2x+y\leqslant10,\\x+2y\leqslant14,\\x+y\geqslant6,
\end{cases}$ 则 $xy$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考四川卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题需先作出可行域，再分析最优解可能存在的位置，最后利用均值定理得出最值．由题意，可行域如图所示：
过可行域中的点分别作 $x$ 轴与 $y$ 轴的垂线，可知当 $ xy $ 取得最大值时，最优解 $ \left(x,y\right)$ 所对应的点只能在第一象限内的可行域中的右边界或上边界上，即只能在线段 $ BC $ 或 $ AB$ 上．
① 当点 $ \left(x,y\right)$ 在线段 $ BC $ 上时，$ 2\leqslant x\leqslant 4 $，由均值定理，知\[10=2x+y\geqslant 2\sqrt {2xy},\]得 $xy\leqslant \dfrac{25}{2} $，当 $ x=\dfrac 52\in \left[2,4\right] $ 时，等号成立，此时 $ xy$ 的最大值为 $ \dfrac{25}{2}$；
② 当点 $ \left(x,y\right)$ 在线段 $ AB $ 上时，$ 0<x\leqslant 2 $，由均值定理，知\[ xy\leqslant \dfrac{49}{2},\]当 $ x=7 $ 时，等号成立．因为 $7 \not \in \left(0,2\right]$，所以当 $ x=2 $ 时，$ xy$ 取得最大值为 $ 12$．
综上，$ xy$ 的最大值为 $ \dfrac{25}{2}$．
过可行域中的点分别作 $x$ 轴与 $y$ 轴的垂线，可知当 $ xy $ 取得最大值时，最优解 $ \left(x,y\right)$ 所对应的点只能在第一象限内的可行域中的右边界或上边界上，即只能在线段 $ BC $ 或 $ AB$ 上．① 当点 $ \left(x,y\right)$ 在线段 $ BC $ 上时，$ 2\leqslant x\leqslant 4 $，由均值定理，知\[10=2x+y\geqslant 2\sqrt {2xy},\]得 $xy\leqslant \dfrac{25}{2} $，当 $ x=\dfrac 52\in \left[2,4\right] $ 时，等号成立，此时 $ xy$ 的最大值为 $ \dfrac{25}{2}$；
② 当点 $ \left(x,y\right)$ 在线段 $ AB $ 上时，$ 0<x\leqslant 2 $，由均值定理，知\[ xy\leqslant \dfrac{49}{2},\]当 $ x=7 $ 时，等号成立．因为 $7 \not \in \left(0,2\right]$，所以当 $ x=2 $ 时，$ xy$ 取得最大值为 $ 12$．
综上，$ xy$ 的最大值为 $ \dfrac{25}{2}$．
题目
答案
解析
备注
