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复平面上圆周 $\dfrac{{\left| {z - 1} \right|}}{{\left| {z - 1 + {\mathrm{i}}} \right|}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ 的圆心是 \((\qquad)\)
A: $3 + {\mathrm{i}}$
B: $3 - {\mathrm{i}}$
C: $1 + {\mathrm{i}}$
D: $1 - {\mathrm{i}}$
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    圆
    >
    圆的定义
    >
    阿波罗尼斯圆
  • 知识点
    >
    复数
    >
    复数的运算
    >
    复数及其运算的几何意义
【答案】
C
【解析】
设点 $A\left( {1,0} \right)$，$B\left( {1, - 1} \right)$，$P$ 为圆周上一点，则$$\dfrac{{PA}}{{PB}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$$根据阿波罗尼斯圆的定义，圆心横坐标为 $1$，纵坐标为\[\begin{split}\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{y_A} + \lambda {y_B}}}{{1 + \lambda }} + \dfrac{{{y_A} - \lambda {y_B}}}{{1 - \lambda }}} \right)& = \dfrac{{{y_A} - {\lambda ^2}{y_B}}}{{1 - {\lambda ^2}}}\\&= \dfrac{{0 - \dfrac{1}{2}\left( { - 1} \right)}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 1.\end{split}\]所以圆心坐标为 $\left( {1,1} \right)$．
题目 答案 解析 备注
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