如图，从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B$，$C$ 的俯角分别为 ${75^ \circ }$，${30^ \circ }$，此时气球的高是 $60 {\mathrm{m}}$，则河流的宽度 $BC$ 等于 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题是正弦定理的应用问题，先利用高求出 $AC$ 的长，再由正弦定理计算即可．因为从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B$，$C$ 的俯角分别为 ${75^ \circ }$，${30^ \circ }$，所以 $\angle C=30^{\circ} $，$\angle{ABC}=105^{\circ} $，$\angle{BAC}=45^{\circ} $．
又因为气球的高是 $60 {\mathrm{m}}$，所以 $AC=120 {\mathrm{m}}$．在 $ \triangle {ABC} $ 中，由正弦定理，得\[\dfrac {BC}{\sin {\angle BAC}}=\dfrac {AC}{\sin {\angle ABC}}, \]解得\[ BC\overset {\left[a\right]}=120\left(\sqrt 3 - 1\right) {\mathrm{m}}.\]（推导中用到 $ \left[a\right]$．）
又因为气球的高是 $60 {\mathrm{m}}$，所以 $AC=120 {\mathrm{m}}$．在 $ \triangle {ABC} $ 中，由正弦定理，得\[\dfrac {BC}{\sin {\angle BAC}}=\dfrac {AC}{\sin {\angle ABC}}, \]解得\[ BC\overset {\left[a\right]}=120\left(\sqrt 3 - 1\right) {\mathrm{m}}.\]（推导中用到 $ \left[a\right]$．）
题目
答案
解析
备注
