设 $m \in {\mathbb{R}}$，过定点 $A$ 的动直线 $x + my = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $mx - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P\left(x,y\right)$，则 $\left|PA\right| + \left|PB\right|$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
将动直线按 $m$ 整理可求出定点 $A$ 和 $B$，根据直线方程的特点可以看出，两条动直线相互垂直，故交点 $P$ 落在以 $AB$ 为直径的圆周上，引入参数表示圆，可把所求代数式用参数表示出来，进而求得其范围．根据题意，可得定点 $ A\left(0,0\right) $ 和 $B\left(1,3\right) $ 且动直线 $x + my = 0$ 与动直线 $mx - y - m + 3 = 0$ 垂直，可得\[ |PA|^2+|PB|^2=10 .\]当点 $ P $ 在点 $ A $ 或点 $B$ 时，$ |PA|+|PB| $ 取得最小值 $ \sqrt {10} $，而由\[ \left(|PA|+|PB|\right)^2 \overset {\left[a\right]}\leqslant 2\left(|PA|^2+|PB|^2\right)=20 ,\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）得 $ |PA|+|PB| $ 的最大值为 $ 2\sqrt 5 $，当且仅当 $ |PA|=|PB|=\sqrt 5 $ 时，等号成立．
题目
答案
解析
备注
