根据抛物线的性质可以分析出直线 $AB$ 恒过 $x$ 轴上的一定点．设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，直线 $AB$ 方程为 $x=my+t$．直线 $AB$ 交 $x$ 轴于点 $M\left(t,0\right)$．联立直线和抛物线的方程消去 $x$ 得\[y^2-my-t=0,\]因为 $\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}=2$，所以\[x_1x_2+y_1y_2=y_1^2y_2^2+y_1y_2=2,\]解得 $y_1y_2=-2$，即 $t=2$，所以 $AB$ 过 $x$ 轴上定点 $M\left(2,0\right)$．\[S_{\triangle ABO}=\dfrac 1 2 |OM||y_1-y_2|=|y_1-y_2|,\]\[S_{\triangle AFO}=\dfrac 1 2 |OF||y_1|=\dfrac 1 8 |y_1|,\]所以\[\begin{split}S_{\triangle ABO}+S_{\triangle AFO}&=|y_1-y_2|+\dfrac 1 8 |y_1|\\&=\dfrac 9 8 |y_1|+\dfrac 2 {|y_1|}\\&\overset {\left[a\right]} \geqslant 3,\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）当且仅当 $\dfrac 9 8 |y_1|=\dfrac 2 {|y_1|} $，即 $|y_1|=\dfrac 4 3 $ 时，等号成立．