过点 $P\left( - \sqrt 3 , - 1\right)$ 的直线 $l$ 与圆 ${x^2} + {y^2} = 1$ 有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
切线是直线与圆有无公共点的分界位置．当直线 $l$ 的斜率不存在时，此时直线方程为 $x=-\sqrt 3$，圆心到直线的距离为 $\sqrt 3>1$，此时直线与圆没有公共点；
当直线 $l$ 的斜率存在时，设直线方程为 $y=k\left(x+\sqrt 3\right)-1$，若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离\[d\overset {\left[a\right]}=\dfrac{|\sqrt 3 k-1|}{\sqrt{k^2+1}}\leqslant 1,\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）解得 $0\leqslant k\leqslant \sqrt 3$，所以 $l$ 的倾斜角的取值范围是 $\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right]$．
当直线 $l$ 的斜率存在时，设直线方程为 $y=k\left(x+\sqrt 3\right)-1$，若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离\[d\overset {\left[a\right]}=\dfrac{|\sqrt 3 k-1|}{\sqrt{k^2+1}}\leqslant 1,\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）解得 $0\leqslant k\leqslant \sqrt 3$，所以 $l$ 的倾斜角的取值范围是 $\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right]$．
题目
答案
解析
备注
