已知 $f\left(x\right)$ 为偶函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f\left(x\right) =\begin{cases}
\cos {\mathrm \pi} x, &x \in \left[0,\dfrac{1}{2}\right] , \\
2x - 1, &x \in \left(\dfrac{1}{2}, + \infty \right) ,
\end{cases} $ 则不等式 $f\left(x - 1\right) \leqslant \dfrac{1}{2}$ 的解集为 \((\qquad)\)
\cos {\mathrm \pi} x, &x \in \left[0,\dfrac{1}{2}\right] , \\
2x - 1, &x \in \left(\dfrac{1}{2}, + \infty \right) ,
\end{cases} $ 则不等式 $f\left(x - 1\right) \leqslant \dfrac{1}{2}$ 的解集为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为条件直接给了 $x \geqslant 0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 的解析式，所以可以容易解出 $x \geqslant 0$ 时，$ f\left(x\right) \leqslant \dfrac 12$ 的解集，再根据奇偶性，可以得出 $x \in \mathbb R$ 时的解集，最后根据函数图象的平移特点，将解集向右平移一个单位即可．令 $x-1=t$，则函数 $ f\left(t\right) $为偶函数，当 $ t\in \left[0,\dfrac 12\right] $ 时，$ f\left(t\right)=\cos {\mathrm \pi} t \leqslant \dfrac 12 $ 的解集为 $ \left[\dfrac 13,\dfrac 12\right] $；当 $ t\in \left(\dfrac 12,+\infty\right) $ 时，$ f\left(t\right)=2t-1\leqslant \dfrac 12 $ 的解集为 $ \left(\dfrac 12,\dfrac 34\right] $，所以 $ f\left(t\right)\leqslant \dfrac 12 $ 的解集为 $ \left[-\dfrac 34,-\dfrac 13\right]\cup \left[\dfrac 13,\dfrac 34\right] $．于是 $ f\left(x-1\right)\leqslant \dfrac 12 $ 的解集为 $ \left[\dfrac 14,\dfrac 23\right]\cup \left[\dfrac 43,\dfrac 74\right] $．
题目
答案
解析
备注
